Hauv kev laij lej, thaum koj muaj qhov sib npaug rau y sau hauv daim ntawv x (piv txwv li y = x2 -3x), nws yog ib qho yooj yim siv cov txheej txheem kev rho tawm yooj yim (raug xa mus los ntawm cov lej ua lej raws li cov txheej txheem cuam tshuam los ntawm cov txheej txheem) kom pom cov txiaj ntsig. Txawm li cas los xij, rau kev sib npaug uas nyuaj rau tsim nrog tsuas yog lub sij hawm y ntawm ib sab ntawm qhov sib npaug kos npe (piv txwv li x2 + y2 5x + 8y + 2xy2 = 19), xav tau txoj hauv kev sib txawv. Nrog cov txheej txheem hu ua kev cuam tshuam cov txiaj ntsig kev ua haujlwm, nws yooj yim mus nrhiav cov txiaj ntsig ntawm ntau qhov sib txawv sib npaug tsuav koj paub cov hauv paus ntawm kev ua haujlwm muaj txiaj ntsig zoo!
Kauj ruam
Txoj Kev 1 ntawm 2: Deriving Yooj Yim Yooj Yim Ceev
Kauj Ruam 1. Tau txais cov ntsiab lus x raws li ib txwm muaj
Thaum sim ua kom muaj ntau qhov sib txawv sib npaug zoo li x2 + y2 5x + 8y + 2xy2 = 19, nws tuaj yeem nyuaj rau paub pib qhov twg. Hmoov zoo, thawj kauj ruam ntawm kev muab los ntawm kev ua haujlwm tsis raug yog qhov yooj yim tshaj plaws. Tsuas yog muab cov ntsiab lus x thiab qhov tsis sib xws ntawm ob sab ntawm qhov sib npaug raws li cov cai ntawm qhov qub (qhia meej) cov txiaj ntsig los pib nrog. Tsis quav ntsej cov lus y rau lub sijhawm tam sim no.
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Cia peb sim muab qhov piv txwv ntawm qhov yooj yim saum toj no. x kev2 + y2 5x + 8y + 2xy2 = 19 muaj ob nqe lus x: x2 ua -5x. Yog tias peb xav tau qhov sib npaug, peb yuav tsum ua qhov no ua ntej, zoo li no:
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- x kev2 + y2 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Nqes mus rau lub zog ntawm 2 hauv x2 raws li coefficient, tshem x hauv -5x, thiab hloov 19 rau 0)
- 2x + xyb2 5 + 8y + 2xy2 = 0
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Kauj Ruam 2. Tau txais cov ntsiab lus y thiab ntxiv (dy/dx) ib sab ntawm txhua lub sijhawm
Rau koj cov kauj ruam tom ntej, tsuas yog muab cov ntsiab lus y tib txoj kev koj tau txais cov ntsiab lus x. Lub sijhawm no, txawm li cas los xij, ntxiv (dy/dx) ib sab ntawm txhua lub sijhawm raws li koj yuav ntxiv qhov sib npaug. Piv txwv li, yog tias koj txo qis y2, tom qab ntawd qhov kev txiav txim siab dhau los ua 2y (dy/dx). Tsis quav ntsej cov lus uas muaj x thiab y rau lub sijhawm tam sim no.
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Hauv peb qhov piv txwv, peb qhov sib npaug tam sim no zoo li no: 2x + y2 5 + 8y + 2xy2 = 0. Peb yuav ua cov kauj ruam tom ntej ntawm kev muab y raws li hauv qab no:
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- 2x + xyb2 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Nqa mus rau lub zog ntawm 2 hauv y2 raws li coefficients, tshem y hauv 8y, thiab tso dy/dx ib sab ntawm txhua lub sijhawm).
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
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Kauj Ruam 3. Siv txoj cai khoom lossis txoj cai rho tawm rau cov lus muaj x thiab y
Ua haujlwm nrog cov ntsiab lus uas muaj x thiab y yog qhov nyuaj me ntsis, tab sis yog tias koj paub cov cai rau cov khoom lag luam thiab cov lej rau cov txiaj ntsig, koj yuav pom nws yooj yim. Yog tias cov ntsiab lus x thiab y tau sib npaug, siv txoj cai khoom lag luam ((f × g) '= f' × g + g × f '), hloov x lub sij hawm rau f thiab lub sij hawm y rau g. Ntawm qhov tod tes, yog tias cov ntsiab lus x thiab y tsis suav nrog, siv txoj cai rho tawm ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2), hloov tus lej rau f thiab tus lej rau g.
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Hauv peb qhov piv txwv, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, peb tsuas muaj ib lo lus uas muaj x thiab y - 2xy2. Txij li x thiab y tau sib tw ua ke, peb yuav siv txoj cai khoom lag luam los ua raws li hauv qab no:
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- 2 xyw2 = (2x) (y2)- teeb 2x = f thiab y2 = g hauv (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2 xyi2 + 4xy (dy/dx)
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- Ntxiv qhov no rau peb qhov sib npaug tseem ceeb, peb tau txais 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Kauj Ruam 4. Ib leeg (dy/dx)
Koj yuav luag tiav! Tam sim no, txhua yam koj yuav tsum ua yog daws qhov sib npaug (dy/dx). Qhov no zoo li nyuaj, tab sis feem ntau nws tsis yog - nco ntsoov tias ob nqe lus a thiab b tau sib tw los ntawm (dy/dx) tuaj yeem sau ua (a + b) (dy/dx) vim tias faib cov khoom sib faib. Cov tswv yim no tuaj yeem ua kom cais tawm (dy/dx) yooj yim dua - tsuas yog txav tag nrho lwm cov ntsiab lus ntawm lwm sab ntawm cov kab lus, tom qab ntawd faib los ntawm cov ntsiab lus hauv kab lus nyob ib sab ntawm (dy/dx).
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Hauv peb qhov piv txwv, peb yooj yim 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0 raws li hauv qab no:
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- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 -2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 -2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 -2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
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Txoj Kev 2 ntawm 2: Siv Cov Txheej Txheem Zoo
Kauj Ruam 1. Sau tus nqi (x, y) txhawm rau nrhiav (dy/dx) rau ib qho twg
Nyab xeeb! Koj twb tau txais koj qhov kev ua zauv ib yam nkaus - tsis yog txoj haujlwm yooj yim ntawm thawj zaug! Siv qhov kev ua zauv no txhawm rau nrhiav qhov gradient (dy/dx) rau ib qho twg (x, y) yog qhov yooj yim li ntsaws x thiab y qhov tseem ceeb rau koj taw tes rau sab xis ntawm qhov sib npaug, tom qab ntawd nrhiav (dy/dx).
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Piv txwv li, xav tias peb xav nrhiav qhov gradient ntawm qhov (3, -4) rau peb qhov piv txwv piv txwv saum toj no. Txhawm rau ua qhov no, peb yuav hloov 3 rau x thiab -4 rau y, daws raws li hauv qab no:
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- (dy/dx) = (-2y2 -2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2) (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, los yog 0, 6875.
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Kauj Ruam 2. Siv txoj cai saw hlau rau kev ua haujlwm-hauv-kev ua haujlwm
Txoj cai saw hlau yog ib qho tseem ceeb ntawm kev paub kom muaj thaum ua haujlwm ntawm cov teeb meem laij lej (suav nrog cov teeb meem cuam tshuam los ntawm kev ua haujlwm). Txoj cai saw hais tias rau txoj haujlwm F (x) uas tuaj yeem sau ua (f o g) (x), derivative ntawm F (x) yog sib npaug rau f '(g (x)) g' (x). Txog cov teeb meem cuam tshuam txog kev ua haujlwm tsis zoo, qhov no txhais tau tias nws muaj peev xwm muab qhov sib txawv ntawm tus kheej qhov sib npaug, thiab tom qab ntawd ua ke cov txiaj ntsig.
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Raws li qhov piv txwv yooj yim, xav tias peb yuav tsum pom qhov ua piv txwv ntawm kev txhaum (3x2 + x) raws li ib feem ntawm qhov cuam tshuam loj dua kev ua haujlwm muaj txiaj ntsig rau qhov ua rau sib npaug ua txhaum (3x2 + x) + y3 = 0. Yog tias peb xav txog kev txhaum (3x2 + x) ua f (x) thiab 3x2 + x raws li g (x), peb tuaj yeem pom qhov sib piv raws li hauv qab no:
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- f '(g (x)) g' (x)
- (ua (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cov (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 +x)
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Kauj Ruam 3. Rau qhov sib npaug nrog qhov sib txawv x, y, thiab z, nrhiav (dz/dx) thiab (dz/dy)
Txawm hais tias txawv txav hauv cov lej yooj yim, qee qhov kev thov ua haujlwm siab dua yuav xav tau cov txiaj ntsig ntawm kev ua haujlwm ntawm ntau dua ob qhov kev hloov pauv. Rau txhua qhov sib txawv ntxiv, koj yuav tsum pom nws cov txiaj ntsig ntxiv nrog kev hwm rau x. Piv txwv li, yog tias koj muaj x, y, thiab z, koj yuav tsum tshawb nrhiav ob qho tib si (dz/dy) thiab (dz/dx). Peb tuaj yeem ua qhov no los ntawm kev suav qhov sib npaug nrog x ob zaug - ua ntej, peb yuav nkag mus (dz/dx) txhua lub sijhawm peb tau txais lub sijhawm uas muaj z, thiab qhov thib ob, peb yuav ntxig (dz/dy) txhua lub sijhawm peb tau txais z.; ua. Tom qab qhov no, nws tsuas yog teeb meem ntawm kev daws teeb meem (dz/dx) thiab (dz/dy).
- Piv txwv, cia peb hais tias peb tab tom sim muab x3z.; ib2 -5 xyi5z = x tau2 + y3.
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Ua ntej, cia peb tawm tsam x thiab nkag mus (dz/dx). Tsis txhob hnov qab siv txoj cai khoom yog xav tau!
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- x kev3z.; ib2 -5 xyi5z = x tau2 + y3
- 3 x ygo2z.; ib2 + 2x ib3z (dz/dx) - 5y5z 5 xyi5(dz/dx) = 2x
- 3 x ygo2z.; ib2 + (2 x ib3z 5 xyi5) (dz/dx) - 5y5z = 2x ib
- (2x ib3z 5 xyi5) (dz/dx) = 2x - 3x2z.; ib2 + 5 xyoo5z.; ib
- (dz/dx) = (2x - 3x2z.; ib2 + 5 xyoo5z)/(2x3z 5 xyi5)
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Tam sim no, ua tib yam rau (dz/dy)
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- x kev3z.; ib2 -5 xyi5z = x tau2 + y3
- 2x ua3z (dz/dy) - 25xy4z 5 xyi5(dz/dy) = 3y2
- (2x ib3z 5 xyi5) (dz/dy) = 3y2 + 25 xyoos4z.; ib
- (dz/dy) = (3y2 + 25 xyoos4z)/(2x3z 5 xyi5)
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