Qhov txiav txim siab ntawm matrices feem ntau siv hauv kev suav, lej algebra, thiab geometry ntawm qib siab dua. Sab nraud ntawm kev kawm, cov kws tsim duab duab computer thiab cov programmer siv cov lej thiab lawv qhov kev txiav txim siab txhua lub sijhawm. Yog tias koj twb paub yuav txiav txim siab qhov txiav txim siab ntawm matrix ntawm qhov kev txiav txim ntawm 2x2, koj tsuas yog xav paub thaum twg los siv ntxiv, rho tawm, thiab lub sijhawm los txiav txim siab qhov txiav txim siab ntawm matrix ntawm kev txiav txim 3x3.
Kauj ruam
Ntu 1 ntawm 2: Txheeb Xyuas Tus Kws Txiav Txim Siab
Sau koj 3 x 3 daim ntawv xaj xaj. Peb yuav pib nrog tus lej A ntawm kev txiav txim 3x3 thiab sim nrhiav tus txiav txim siab | A |. Hauv qab no yog daim ntawv dav dav ntawm cov cim cim matrix peb yuav siv thiab piv txwv ntawm peb cov lej:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Kauj Ruam 1. Xaiv kab lossis kab
Ua qhov koj xaiv kab lus lossis kab lus siv. Qhov twg koj xaiv, koj tseem yuav tau txais cov lus teb qub. Ib ntus xaiv thawj kab. Peb yuav muab qee cov lus qhia rau koj xaiv qhov yooj yim-rau-suav qhov kev xaiv hauv ntu tom ntej.
Xaiv thawj kab ntawm qhov piv txwv piv txwv A. Kos tus lej 1 5 3. Hauv qhov cim tseg, kos lub voj voos a11 a12 a13.
Kauj Ruam 2. Hla kab thiab kab ntawm koj thawj ntu
Saib kab lossis kab uas koj ncig thiab xaiv thawj ntu. Hla tawm kab thiab kab. Yuav muaj tsuas yog 4 tus lej uas tseem tsis tau kov. Ua cov lej 4 tus lej 2 x 2 xaj xaj.
- Hauv peb qhov piv txwv, peb kab lus siv yog 1 5 3. Thawj ntu yog nyob hauv kab thib 1 thiab kab thib 1. Hla tag nrho kab thib 1 thiab kab 1. Sau cov ntsiab lus tseem tshuav rau hauv 2 x 2 matrix:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Kauj Ruam 3. Txiav txim siab qhov kev txiav txim siab ntawm 2 x 2 xaj xaj
Nco ntsoov, txiav txim siab qhov kev txiav txim siab ntawm matrix [ac bd] ua ad - ib. Koj kuj tseem tuaj yeem kawm paub txiav txim siab tus lej sib piv los ntawm kev kos X ntawm 2 x 2 matrix. Muab ob tus lej sib txuas los ntawm kab / ntawm X. Tom qab ntawd, rho tawm tus lej ntawm ob zaug tus lej sib txuas los ntawm kab / yog Siv cov mis no los laij qhov txiav txim siab ntawm 2 x 2 matrix.
- Hauv qhov piv txwv, tus txiav txim siab ntawm matrix [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Tus neeg txiav txim no hu ua me ntawm cov ntsiab lus uas koj tau xaiv hauv thawj lub zeem muag. Hauv qhov no, peb nyuam qhuav pom tus menyuam yaus ntawm a11.
Kauj Ruam 4. Muab tus lej uas pom los ntawm lub hauv paus uas koj xaiv
Nco ntsoov, koj tau xaiv cov ntsiab lus los ntawm kab lus siv (lossis kab ntawv) thaum koj txiav txim siab tias kab thiab kab twg tawm tsam. Sib npaug cov ntsiab lus no los ntawm tus txiav txim siab ntawm 2 x 2 matrix koj tau pom.
Hauv qhov piv txwv, peb xaiv a11 uas yog 1. Muab tus lej no los ntawm -34 (tus txiav txim siab ntawm 2 x 2 matrix) kom tau 1*-34 = - 34.
Kauj Ruam 5. Txiav txim siab lub cim ntawm koj cov lus teb
Cov kauj ruam tom ntej yog qhov koj yuav tsum muab koj cov lus teb los ntawm 1 lossis -1 kom tau cov cofactor ntawm lub caij koj xaiv. Lub cim koj siv yog nyob ntawm qhov twg cov ntsiab lus nyob hauv 3 x 3 matrix.
- + - +
- - + -
- + - +
- Vim peb xaiv a11 uas yog cim a +, peb yuav muab tus lej los sib piv +1 (lossis ua lwm yam lus, tsis txhob hloov nws). Cov lus teb uas tshwm yuav zoo ib yam, uas yog - 34.
- Lwm txoj hauv kev los txhais lub cim yog siv cov qauv (-1) i+j qhov twg kuv thiab j yog kab thiab kab lus.
Kauj Ruam 6. Rov ua qhov txheej txheem no rau ntu thib ob hauv koj kab lus lossis kab lus
Rov qab mus rau qhov qub 3 x 3 matrix uas koj tau ncig kab lossis kab hauv yav dhau los. Rov ua cov txheej txheem qub nrog lub hauv paus:
-
Hla tawm kab thiab kab ntawm cov khoom.
Hauv qhov no, xaiv lub ntsiab lus a12 (uas yog tus nqi 5). Hla tawm kab thib 1 (153) thiab kab ntawv thib ob (5 4 6).
-
Tig cov khoom seem rau hauv 2x2 matrix.
Hauv peb qhov piv txwv, 2x2 kev txiav txim rau lub cim thib ob yog [24 72].
-
Txiav txim siab qhov kev txiav txim siab ntawm 2x2 matrix no.
Siv cov ad - bc mis. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Sib npaug los ntawm cov ntsiab lus ntawm koj xaiv 3x3 matrix.
-24 * 5 = -120
-
Txiav txim siab seb yuav muab cov txiaj ntsig saum toj no los -1 lossis tsis yog.
Siv cov lus cim lossis cov qauv (-1)ij yaj. Xaiv lub ntsiab a12 cim - nyob rau hauv lub cim cim. Hloov peb lub cim teb nrog: (-1)*(-120) = 120.
Kauj Ruam 7. Rov ua cov txheej txheem qub rau ntu thib peb
Koj muaj ib tus cofactor ntxiv los txiav txim siab qhov txiav txim siab. Suav kuv rau ntu thib peb hauv koj kab lus lossis kab lus. Nov yog txoj hauv kev nrawm los laij tus cofactor a13 hauv peb qhov piv txwv:
- Hla tawm kab thib 1 thiab kab thib 3 kom tau txais [24 46].
- Tus txiav txim siab yog 2*6 - 4*4 = -4.
- Rho tawm los ntawm cov ntsiab lus a13: -4 * 3 = -12.
- Qeb a13 cim + hauv lub cim cim, yog li cov lus teb yog - 12.
Kauj Ruam 8. Ntxiv cov txiaj ntsig ntawm koj peb qhov suav
Qhov no yog kauj ruam kawg. Koj tau suav peb lub cofactors, ib qho rau txhua ntu hauv kab lossis kab. Ntxiv cov txiaj ntsig ntawd thiab koj yuav pom qhov txiav txim siab ntawm 3 x 3 matrix.
Hauv qhov ua piv txwv, tus txiav txim siab ntawm matrix yog - 34 + 120 + - 12 = 74.
Ntu 2 ntawm 2: Ua Teeb Meem Teeb Meem Yooj Yim
Kauj Ruam 1. Xaiv kab lus lossis kab lus ntawm cov neeg ua tim khawv uas muaj 0s feem ntau
Nco ntsoov, koj tuaj yeem xaiv kab lossis kab uas koj xav tau. Qhov twg koj xaiv, cov lus teb yuav zoo ib yam. Yog tias koj xaiv kab lossis kab nrog tus lej 0, koj tsuas yog xav xam lub cofactor nrog cov ntsiab lus uas tsis yog 0 vim tias:
- Piv txwv li, xaiv kab thib 2 uas muaj lub ntsiab lus a21, ib22, nyiaj txiag23. Txhawm rau daws qhov teeb meem no, peb yuav siv 3 qhov sib txawv 2 x 2 matrices, cia peb hais A21, A22, Koj23.
- Qhov txiav txim siab ntawm 3x3 matrix yog a21| Ua21| - ib22| Ua22| + ib23| Ua23|.
- Yog a22 nyiaj txiag23 tus nqi 0, cov mis uas twb muaj lawm yuav yog a21| Ua21| - 0*| UA22| + 0*| UA23| = ib21| Ua21| - 0 + 0 = ua21| Ua21|. Yog li ntawd, peb tsuas yog xam cov cofactor ntawm ib lub hauv paus nkaus xwb.
Kauj Ruam 2. Siv kab ntxiv los ua teeb meem hauv matrix
Yog tias koj coj tus nqi los ntawm ib kab thiab ntxiv lawv mus rau lwm kab, qhov txiav txim siab ntawm cov lej yuav tsis hloov. Tib yam muaj tseeb rau kab. Koj tuaj yeem ua qhov no ntau zaus los yog sib npaug ua ntu zus ua ntej ntxiv nws kom tau ntau li 0's hauv cov lej raws li ua tau. Qhov no tuaj yeem txuag sijhawm ntau.
- Piv txwv li, koj muaj tus lej nrog 3 kab: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Txhawm rau tshem tawm tus lej 9 uas nyob hauv txoj haujlwm a11, koj tuaj yeem sib npaug tus nqi hauv kab thib ob los ntawm -3 thiab ntxiv qhov tshwm sim rau thawj kab. Tam sim no, thawj kab ntawv tshiab yog [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Tus lej tshiab muaj kab [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Siv tib txoj kev dag ntawm kab los ua12 ua num0.
Kauj Ruam 3. Siv txoj hauv kev nrawm rau daim duab peb sab
Hauv qhov xwm txheej tshwj xeeb no, tus txiav txim siab yog cov khoom ntawm cov khoom ntawm kab pheeb ces kaum loj, ntawm a11 nyob rau sab saum toj sab laug rau a33 hauv qab txoj cai ntawm matrix. Cov lej no tseem yog 3x3 matrix, tab sis "daim duab peb sab" matrix muaj cov qauv tshwj xeeb ntawm cov lej uas tsis yog 0:
- Upper triangular matrix: Txhua lub ntsiab lus uas tsis yog 0 yog nyob lossis siab dua ntawm kab pheeb ces kaum loj. Txhua tus lej hauv qab kab pheeb ces kaum tseem ceeb yog 0.
- Cov duab peb sab hauv qab: Txhua lub ntsiab lus uas tsis yog 0 yog nyob lossis qis dua kab pheeb ces kaum loj.
- Kab pheeb ces kaum kab pheeb ces kaum: Txhua lub ntsiab lus uas tsis yog 0 yog nyob ntawm kab pheeb ces kaum tseem ceeb (ntu me me ntawm cov hom kawm saum toj no).
Lub tswv yim
- Yog tias tag nrho cov ntsiab lus hauv kab lossis kab lus yog 0, qhov txiav txim siab ntawm matrix yog 0.
- Txoj kev no tuaj yeem siv rau txhua qhov ntau thiab tsawg ntawm cov lej sib npaug. Piv txwv li, yog tias koj siv txoj hauv kev no rau cov lej ntawm kev txiav txim 4x4, koj "tawm tsam" yuav tawm ntawm qhov kev txiav txim 3x3 uas nws qhov kev txiav txim siab tuaj yeem txiav txim siab tau los ntawm ua raws cov theem hauv qab no. Nco ntsoov, ua qhov no tuaj yeem txaus siab!
